Ieraksts tapis, balstoties uz tēzēm, kuras tika izklāstītas T-Kluba 2010. gada 5. oktobra sēdē.
________________________________________________________________________________
Mācoties Latvijas Universitātes Fizikas un matemātikas fakultātē, manās rokās nonāca Rīgas 1. ģimnāzijas mācību brošūra, kas bija iespiesta pirms kara. Tā mani pārsteidza, jo saturēja tādas matemātikas elementus, ko pat padomju tehnokrātiskā izglītības sistēma bija atstājusi augstskolām – diferenciālvienādojumus. Es skolā biju iemācījies atvasinājuma jēdzienu, pat divkāršo atvasinājumu, pratu aprēķināt vienkāršus integrāļus, namaz nerunājot par logaritmiskiem vienādojumiem, trigonometriju, otrās pakāpes polinomiem un lineārām vienādojumu sistēmām. Biju sekmīgi cīnijies ar Rīgas 1. vidusskolas „grandiem” matemātikas un fizikas olimpiādēs. Bet piepeši nācās atzīt, ka pirms kara, pirms atombumbas izgudrošanas un pirms datoru ēras no latviešu ģimnāzista tika prasīts vairāk.
Nākošais līdzīgais pārsteigums mani gaidīja universitātes trešajā kursā. Mūsu grupa jau divus semestrus bija „nocīnījusies” ar priekšmetu, kuru sauca „matemātiskās fizikas metodes”. Pēc būtības tie bija daži izaicinoši klasiskās fizikas uzdevumi, kuru analītisks risinājums bija atrasts teju 18. gadsimta beigās un galīgais slīpējums pabeigts 20. gadsimta sākumā. Lai tos izprastu, mēs iemācījāmies tādas metodes kā telpisko integrēšanu, parciālo otrās pakāpes diferenciālvienādojumu un integrālvienādojumu sistēmu risināšanu. Tas lieti noderēja, skaitļojot siltumvadīšanas procesus homogēna materiāla stienī, bet ļoti atgādināja stāstu par fiziķi hipodromā. [Reiz kaislīgs zirgu skriešanās sacīkšu cienītājs uzaicināja matemātiķi, biologu un fiziķi palīdzēt noteikt, kurš zirgs vinnēs nākošajās sacensībās. Matemātiķis nāca klajā ar atbildi, ko pamatoja ar sarežģītiem statistikas aprēķiniem, kas bija balstīti uz iepriekšējo sacensību rezultātiem. Biologs atbildi pamatoja ar gēnu alēļu pētījumiem piecās iepriekšējās rikšotāju paaudzēs. Fiziķis atbildi uzsāka ar vārdiem: „Kā modeli mēs ņemam sfērisku zirgu vakuumā...”] Tieši pēdējā matemātiskās fizikas lekcijā docents Oļģerts Dzenītis paziņoja, ka tas, ko mēs mācījāmies veselu gadu, ir trīs matemātiskās fizikas uzdevumu – hiperboliskā, paraboliskā un eliptiskā – speciālgadījumi, proti – tiem ir nepieciešami t.s. homogēnie robežnosacījumi, lai būtu iespējams analītisks atrisinājums. Vispārīgā gadījumā galvenajām matemātiskās fizikas problēmām ir iespējami vienīgi skaitliski risinājumi – tādi, kurus iegūst ar datoriem, iterāciju ceļā piemeklējot labāko atbildi...
Lieki ir piebilst, ka skaitliski atrisināt šos uzdevumus bija negaidīti vienkārši. Lieki ir teikt, ka matemātiskās fizikas metožu kurss nežēlīgi atsijāja virkni studentu no mūsu kursa. Lieki ir teikt, ka turpmākajā fiziķa karjerā es un visi man zināmie pētnieki izmantoja vienīgi skaitliskās metodes līdzīgu problēmu risināšanā. Jo analītiskajos risinājumos izpaudās viss matemātikas skaistums, parādījās negaidītas simetrijas un atklājās satricoši vienkāršojumi. Es naktī pirms eksāmena biju zaudējis potenci, bet šo kvalifikācijas barjeru pārvarēju. Vēlākajos gados es atradu attaisnojumu matemātisko fizikas metožu mācīšanai fiziķiem – kā izcilu abstraktās domāšanas veicinātāju, kā fizikas kultūrvēsturiskā mantojuma piemēru, kā galantās matemātikas pretstatu brutālajai skaitļošanas ērai.
Visa mana matemātiskā izglītība sākot no pamatskolas un beidzot ar fizikas doktorantūru bija vērsta uz calculus spēju pilnveidošanu. Tas bija man ļoti noderīgi kā fiziķim, kas savā disertācijā bija iecerējis matemātiski modelēt elektronu enerģijas līmeņus gana nesakārtotajā stiklu amorfajā kristālrežģī. Savukārt vēlākajā finansista un vadītāja karjerā manas calculus iemaņas bija nepieciešamas tieši 9. klases līmenī. Labi, sākot studēt makroekonomiku SSE, dažas diferenciālvienādojumu risināšanas iemaņas atkal noderēja, bet vairums manu kursa biedru brīnišķi iztika arī bez tā.
Ar mikroprocesoru un datoru izplatību, nepieciešamība pēc calculus ir būtiski sašaurinājusies. Tā ir svarīga vairs tikai tiem nedaudzajiem ekspertiem, kas darbojas precīzo zinātņu nozarēs. Līdzīgi kā astronomija. Man vidusskolā tas bija atsevišķs priekšmets, kas veidoja manu pasaules uztveri un tīri utilitāri deva zināšanas, kā ar sektanta, hronometra un kompasa palīdzību noteikt savu atrašanās vietu kartē un iemācīja zvaigznāju nosaukumus, ar ko palielīties savai meitenei skaidrā jūnija naktī. Tagad, atvainojiet, mans telefons pāris sekundēs atrod manu atrašanās vietu 1000 reižu precīzāk, kā meistars Magelāns to jelkad ir pratis. Mana drauga telefons, pavērsts pret zvaigznēm, precīzi savā ekrānā zīmē zvaigznājus ar klātpierakstītiem nosaukumiem, lai izglītotu zodiaku pētniekus. Mans automašīnas dators, rēķinot laiku, kas nepieciešams, lai nokļūtu no punkta A uz punktu B, ik sekundes veic simttūkstoš operācijas, lai precīzi noteiktu atrisinājumu, ko 3. klasē man calculus mācīja vispārinātā (kā sfēriska zirga vakuumā) veidā.
Visapteveroša vajadzība pēc calculus tā sākotnējā formā ir mirusi. Es pat domāju, ka kvadrātvienādojuma risināšanas māka, ko apguvu 7. klasē, praktiskajā dzīvē nav noderējusi 90% laikabiedru. Tu, lasītāj, atceries kvadrātvienādojuma diskriminanta formulu? [D = b2 – 4 a c ] Protams, paliek izņēmumi – calculus būs nepieciešams nākotnes zinātniekiem un inženieriem, bet cik tādu būs globālajā darba dalīšanas arēnā?
Tātad, esošā matemātikas calculus mācīšanas koncepcija ir laba un noderīga, teiksim, 10% no sabiedrības. Vai ir iespējams matemātiku skolās padarīt noderīgāku pārējiem skolēniem, kuri būs ārsti, pārdevēji, žurnālisti, videografiķi? Vai spēja ar zīmuli uz papīra lapas atkārtot aprēķinus, ko mikroviļņu krāsns dators izveic, lai lietpratīgi atkausētu 400g vistas filejas no mīnus 24oC temperatūras ar magnetrona jaudu 300W un lietderības koeficientu 60%, noteiks šī skolēna panākumus interjera dizainā?
Nenoliegšu, smadzenes kā mīcāmo mālu un trenējamā muskuļa analogs tiek teicami nodarbināts, studējot calculus. Tiesa, ne mazāk izglītojoša ir arī Ovīdija „Metamorfožu” lasīšana oriģinālvalodā, un ir nesaprotams, kāpēc tieši šo klasisko prāta vingrināšanas metodi – latīņu valodu – pēc Otrā pasaules kara Izglītības ministrijas ierēdņi ir svītrojuši no Rīgas 1. ģimnāzijas programmas.
Varbūt tomēr ir atrodama tāda matemātika, kas ir prātu vingrinoša un vairāk pielietojama mūsdienu kalkulētās datu plūsmas pārprodukcijas apstākļos?
Amerikāņu profesors Artūrs Bendžamins (Arthur Benjamin), piemēram, uzskata, ka skolu matemātika ir vairāk jāvirza uz varbūtību, nejaušību teoriju un statistikas apguvi, kas labāk palīdzētu izprast ikdienas informācijas apjomu, sabiedrisko un ekonomisko procesu nenoteiktību un riska vs. atlīdzības dilemmu. Tam ir arī saimniecisks iemesls, jo tirgus ekonomikās stohastisku procesu analīzes spēja var būt noderīga, lai pieņemtu lēmumus, kā pelnīt naudu. Dens Meijers (Dan Mayer), savukārt, uzskata, ka mūsdienu vidusskolas matemātikas kursā svarīgāk ir iemācīt formulēt problēmas, nevis tās tikai risināt (starp citu, tiešs A. Einšteina citāts!).
Atmodas laikā, kad apšaubīts tika viss un izmainīts – daudz kas, mēs nešauboties noturējāmies pie calculus. Astoņdesmitajos gados daudzās Latvijas skolās bija piejamas datorklases ar kvalitatīviem PDP-11 datoru padomju kloniem [Assemblerun Focal programmēšanas valodu pratēji noteikti atcerēsies leģendāros БK-0010!]. Parādījās jauns mācību priekšmets – datormācība, kas tika uztverts ar nevitotu entuziasmu. Tā bija pirmā iespēja novērsties no calculus. Datormācības triumfs skolās astoņdesmitajos gados varēja konverģēt uz tīklošanas un komunikācijas teorijas studijām, bet, diemžēl, tas izvērtās par kārtējo skaitlisko calculus paveidu, kas aizrāva vien nedaudzus topošos zinātniekus.
Deviņdesmitajos gados acīmredzamais calculus utilitārisma trūkums noveda pie skolu izglītības humanitarizācijas, kas deva vajadzīgo stimulu sociālajām zinātnēm, bet teju nogalināja matemātiku.
Aizmetņi citai matemātikai Latvijā ir. Fanātiskais Agnis Andžāns savā A.Liepas Neklātienes Matemātikas skolā skolēniem stāsta par grafu teoriju, LU Matemātikas un informātikas institūts pēta mākslīgo intelektu, bet jaunie zinātnieki – rokraksta atpazīšanas algoritmus. Daudzus jauniešus, kuri mīl matemātikas skaistumu, ārpus skolas aizrauj 1975. gadā atklātie fraktāļi (fraktāļu pirmatklājējs Benuā Mandelbrots, starp citu, nomira tikai 2010.gada 17. oktobrī). Skaitļu teorija, matemātiskās indukcijas metode, optimizācijas metode – tās visas ir matemātikas nozares, kas ir tālu no calculus, bet, iespējams, ir plašāk apskatāmas jau skolas matemātikas programmās. Pārmērīgi „glorificētā” calculus vietā.
Atsevišķas šeit pieminētās matemātikas nozares jau pašlaik ir ietvertas Latvijas vidusskolu matemātikas programmā. Taču, ak vai – stundu skaits, kas tām ir atvēlēts, skolniekiem ļauj iemācīties vien šo disciplīnu nosaukumus.
Latvijas pirmskara brīvvalsts beigās (1939./1940. mācību gadā) četrās augstskolās studēja vien 0.3% no valsts iedzīvotājiem, bet tas Latviju ierindoja Eiropas izglītotāko nāciju galvgalī. Tā bija elitāra lieta un visi precīzo zinātņu studenti bija izmantojami, tai skaitā, kā „staigājoši aritmometri”. Padomju Savienības agresīvā militārā doktrīna pieprasīja vēl lielāku rēķināt spējīgu zinātnieku un inženieru īpatsvaru.
Pašlaik situācija ir mainījusies. Rietumu stila biznesa un kultūras balstītā ekonomika pieprasa izglītību, bet savādāku. Skolās vajag matemātiku, bet savādāku. 2008. gadā 66% vidusskolas beidzēju devās studēt, bet varbūt tikai viens no viņiem nākotnē veiks aprēķinus, kā pilnveidot Karno ciklu iekšdedzes dzinējiem. Toties 100% lietos datorus, 85% piedalīsies sociālajā tīklošanā, 25% pirks vērtspapīrus un ieguldījumu portfeļus, 40% lasīs ekonomikas apskatus un pieņems lēmumus, balstoties uz biznesa faktiem.
Tie, protams, ir vienīgi mani vērtējumi. Lai ķertos pie skolu matemātikas programmas pārveides, futuroloģiski jāizvērtē nākotnes sabiedrības matemātikas patēriņa grozs un tam atbilstīgi ir jāveido matemātikas piedāvājums. Saderam, ka calculus tur būs krietni mazāk?!
Šajā kontekstā man vairs neliekas paradoksāla Rīgas 1. ģimnāzijas pirmskara matemātikas programma. Kopš tiem laikiem calculus arvien ir gājis mazumā. Jo ir tik daudz citu, jaunu un svarīgu matemātiku, ko mācīties! Vajadzētu parūpēties, lai skolēniem un studentiem ietu secen logaritmisko vienādojumu un matemātisko fizikas metožu šķīstītava. Daži varbūt nožēlos, jo vienas nakts impotence ir laba cena par to matemātisko katarsi, ko savulaik guvu. Toties Latvija kļūs konkurētspējīga, skolās mācot mūsdienām noderīgāku matemātiku.
Njā, Dzenītis un matemātiskās fizikas metodes bija "nāvējoša kombinācija" ar tālejošām sekām... :)
Posted by: Ingvilda | 08 January 2011 at 16:13
Mūsu dzīve ir par un ap mūsu attiecībām ar dažādām sistēmām. Šajā gadījumā - matemātikas novirziena. Vai diferenciālvienādojumus un fraktāļus pārvaldošs matemātiķis pārzin krāsu teoriju, dizaina likumus vai ētiku? Vai indiāņi, kas dzīvoja savās sistēmās, dzīvoja sliktāk par Magelāniem un vai viņu pajūgi bija sliktāki par iekšdedzes dzinēju ar perfektu Karno ciklu? Piekrītu secinājumam, ka, pirms grūst cilvēkus sistēmas likumu apguvē un praktizēšanā, vispirms jāatrod, kādas sistēmas vispār ir nepieciešamas... Bet, varbūt, tam arī jābūt izglītības stūrakmenim - ražot nevis robotus, kas rīkojas pēc iemācītas programmas, bet cilvēciskas būtnes, kas novērtē apstākļus un pielāgojas tiem?
Posted by: eagle7 (atvainojos, pagaidām anonīmi) | 08 January 2011 at 17:24
papidinot: matemātikas (vairāk gan statistikas) grūtpielietojamība ekonomikā
http://www.zerohedge.com/article/guest-post-reasonable-ineffectiveness-mathematics-trading
Starp citu, Benuā Mandelbrots saredzēja, ka akciju cenas apraksta fraktāļu matemātika:
http://www.amazon.com/Fractals-Scaling-Finance-Benoit-Mandelbrot/dp/0387983635
un vispār, tik daudzi sabiedriski procesi ir aprakstāmi ar pakāpes vienādojumu, ka fraktāļu matemātikai jābūt arī pieminētai vidusskolā, man liekas.
Posted by: Oslejs | 08 January 2011 at 18:52
Matemātikas uzdevums ir veicināt domāšanu. Jo sarežģītākas lietas cilvēks mēģina atrisināt, jo vairāk attīstās tā prāts. Un man kā humanitāras profesijas pārstāvim ir vienalga, vai tie ir fraktāļi vai integrāļi - galvenais ir trenēt domāšanu, un tieši prāta asums ir tas, ko pēc tam var izmantot pilnīgi nesaistītās lietās.
Ikdienā man matemātikas zināšanas nepieciešamas varbūt vienīgi 6.vai 7.klases līmenī...
Posted by: Dzintarsh | 08 January 2011 at 21:16
Mums bija teiciens, "Ja nolikts Dzenītis, tad var precēties", jo, ja apprecējās pirms tam, tad fiziķus vairs nepabeidza.
Bet vispār piekrītu tam, ka mūsdienās vairāk jāmāca statistika un programmēšana. Statistika ir vairāk noderīga sadzīvē, bet tieši programmējot tiek izvirzīta problēmas nostādne.
P.S. Kāpēc vienādojumi jāsauc par calculus?
Posted by: Neticis | 08 January 2011 at 22:27
Piekrītu, ka matemātikas izglītībā ir jābūt nopietnām pārmaiņām, jo diemžēl biežs matemātikas stundu rezultāts ir nevis izpratne par matemātiku, bet gan nepatika pret mācīšanos un zems pašnovērtējums. Pats kā skolotājs gan vēlarvien meklēju veidus, ka veicināt izpratni un novērst nepatiku. Šajā sakarā arī ne gluži atbildes raksts, bet saistīts gan - http://bit.ly/gauMeS .
Posted by: Mārtiņš Kālis | 09 January 2011 at 17:12
Jā, brīžiem ir žēl skatīties, kā dažādu Latvijas augstskolu ne-matemātikas programu studenti pavada savu lekciju laiku, piemēram, zīmējot biežuma tabulas 50 lielumiem ar roku.
Lai arī calculus spējas attīsta domāšanu, to daudz ātrāk un precīzāk ir iespējams paveikt ar mūsdienu tehnoloģijām, bet laiku matemātikas stundās/lekcijās varētu pavadīt domājot par ko patiesi interesantu.
Zinu, ka starptautiskā bakalaurāta programmā (International Baccalaureate) skolēni izmanto kalkulātorus "calculus" darbību veikšanai (tai skaitā vienādojumu risināšanai, grafiku zīmēšanai, matricu reizināšanai). Līdz ar to stundās paliek vairāk laika runāt par statistiku, dažāda veida optimizāciju atvasinot un integrējot, un citām interesantām lietām.
Nepretendēju uz viedokli, ka tas būtu jādara arī Latvijas skolās, bet tas katrā ziņā ir interesants salīdzinājums.
Posted by: Miss Zane | 10 January 2011 at 12:27
Atbildot Neticim: latviskāk, nenoliedzami, būtu jāsaka nevis calculus, bet rēķini. Rēķini, jo vienādojumus jau mēs rakstam, lai iegūtu rezultātu: skaitli vai funkciju. Savukārt mans stāsts ir nedaudz par to, ka mūsdienās matemātika ir kas nedaudz vairāk par spēju "izrēķināt".
Posted by: Gatis Kokins | 10 January 2011 at 14:23
Lielisks raksts!
savam puikam uz jautājumu, kam man matemātika, ja ir kalkulātors, atbildu, tad kad pats spēsi izgatavot kalkulatoru reizrēķinu varēsi nemācīties!
Posted by: arīGatis | 10 January 2011 at 15:05
Katrs aunapiere Mandelbrots aiz sociālajiem tīkliem ieraudzīs fraktāļu teoriju (vai pat harmoniskas rindas, kas ir vēl dramatiskāk (dažiem)), un katrs aunapiere Vācietis aiz dimanta kristāliskā režģa ieraudzīs dzeju.
Izglītības sistēmas uzdevums ir atvērt cilvēkam acis, dot viņam spēju to ieraudzīt tās daudzpusībā, un palīdzēt samierināties ar sava saprāta spēju vienpusību... ;-)
Dziļā pateicībā visiem Rīgas 1. ģimnāzijas mācībspēkiem, esp. 1975-1987 mācību gadu!
Posted by: ErixEg | 10 January 2011 at 23:05
Interesants raksts par matemātiku un izglītību. Mana pieredze saka, ka Latvijā augstākā izglītība ir pārāk viegli pieejama.
Posted by: AldisD | 11 January 2011 at 16:14
"Vai ir iespējams matemātiku skolās padarīt noderīgāku pārējiem skolēniem, kuri būs ārsti, pārdevēji, žurnālisti, videografiķi?"
Manuprāt vidusskolās (cik nu kura tam vispār pieskaras, jo atcerēsimies, ka 1.ģimnāzija matemātikas ziņā nav gluži Latvijas vidusmēra skola) calculus tematikai būtu godbijīgi jāatkāpjas tāda priekšmeta priekšā kā "diskrētā matemātika". Un pat vēl vairāk - nezin kāpēc šāds fundamentāls kurss datoru laikmetā universitātēs tiek mācīts tikai datorikas/matemātikas/fizikas fakultātēs.
Diskrētā matemātika runā par kopām, grafiem, attēlojumiem, atbilstībām, utt. Citiem vārdiem sakot, tā ieliek domāšanas veidu lai cilvēks spētu modelēt jelkādu prbolemātiku un pārnest to veiksmīgi uz datora vidi. Un vienkāršākās šīs domāšanas veida nostādnes būs saprotamas un derīgas arī ārstam un videografiķim.
Vēl jo veirāk diskrētās matemātikas problemātika nekncentrējās uz pēc iespējas sarežģītāku viendādojumu veidošanu un to risināšanu. Tieši pretētji tā koncentrējas uz vienkāršu lietu precīzu modelēšanu un attēlošanu abstraktcijās.
Un tieši tas ir ir datoru laikmetā vajadzīgs gandrīz katram - precīzi nomodelēt situāciju un problēmas risinājumu uzkraut dzelzim...
Pašam man bija tas gods apgūt šo tematiku pirmajā bakalaura gadā pie Viļņa Devtlova:
http://www.ltn.lv/~podnieks/Detlovs/index.htm
Un droši varu teikt, ka tas ir pats vērtīgākais, ko esmu Universitātes laikā apguvis.
Ja gadījumā kādu precīzāk interesē, par ko runā šis kurss:
http://www.ltn.lv/~smotrovs/detlovs_dm1.djvu
http://www.ltn.lv/~smotrovs/detlovs_dm2.djvu
Posted by: Reinis | 10 March 2011 at 09:14